粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）
粒子群优化将候选解表示为在搜索空间中的一群「粒子」，通过速度—位置迭代，使粒子既跟随自身曾发现的优良区域，又跟随群体曾发现的优良区域，从而在 中搜索。属群体式元启发式，见 元启发式总览。经典连续 PSO 由 Kennedy 与 Eberhart 在 1995 年前后提出，最初思想来自对鸟群觅食、鱼群等「社会性协调」的简化模拟：个体根据局部信息与群体信息同时调整运动。
核心概念
粒子与状态：下标 表示第 个粒子。第 维上（）， 为第 代时位置， 为同代速度。向量形式记为 。分量形式用于写出第 维上的速度、位置式。
个体极值 pbest：粒子 自搜索开始至今、使 最优（最小化时最小、最大化时取最大）的解，记为 ；在分量上写为 。它相当于「我走过的最好点」。
群体极值（gbest 或 lbest）：在全局 PSO 中，用全体粒子的 pbest 中使 最优者作为 （分量为 ），即「全群已知的最好点」。在局部 PSO 中， 可改为只由若干邻居粒子的 pbest 竞争得到，以减轻早收敛。下文如未另说明， 指全群 gbest 对应的位置。
标准速度式与位置式（标量-分量写法）
在最小化、且采用全局 的写法下，常把第 维上的更新写为
其后更新位置
惯性项：式中 保留上一步运动趋势； 较大时粒子更敢沿原方向冲，探索性增强； 较小时更依赖后两项拉向 pbest 与 gbest，细调性增强。许多实现中令 随时间线性或分段下降，使前期偏探索、后期偏压紧到优区。
认知项：式中 将粒子 从当前 向自己的历史最优点 拉动，系数 控制「对自己经验的信任度」， 在 上均匀随机，使每次迭代带有随机性，减少全体粒子同步卡在相同局部图样的可能。
社会项：式中 将当前位置向当前的群体最优 拉动， 控制「对群体信息的信任度」， 与 独立同分布，作用与认知项类似，但指向全局（或邻域）共识。
注：、 为标量时，每一代内各维共用同一对随机数，实现简单；更常见是 、 为与位置同维的向量、各维独立均匀随机，此时三项写成向量形式，随机项与 、 用 Hadamard 积 相乘。两种约定搜索随机性不同，写实验报告时应写明采用的是哪一种。
向量形式
对粒子 ，令 、 为向量。一步更新为
其中 、 在 上独立且各分量 i.i.d. 均匀。 表示分量为乘。若 在一代内对所有 取同一全群最优，则上式即全局 gbest PSO。更新完 与 后，在最小化中若 则 ；再在所有 上更新 。
参数与工程注意
惯性、认知与社会系数（、、）：
- 略小于 常较稳；、 常在 内，文献中常见在 2.0 附近取初值。
- 过大：速度每步放大，易越界或数值溢出。
- 过小：过早贴紧当前 与 ，早熟。实践中常将 从较大值随时间线性减到较小值。
- 大：更信个体经验，多样性常稍好。
- 大：更信群体，更快贴向当前 。与 可配合压缩因子等稳定迭代（以所读文献与所用库为准）。
的拓扑：
- 最简：全群共用一个 gbest。
- 粒子多时：每只只在环形、Von Neumann 等邻接集内比 pbest，用 lbest 代替全局 ，减轻早收敛。
可行与边界：越界时可投影回盒、将 置 、反弹、或对不可行用罚函数；须与实现一致、便于复现比较。
离散/组合 PSO： 为排列、整数向量时，加法和 需重定义（概率扰动、交换子、与 GA 算子混用等），本页连续式不直接成立，宜单独实现编码与算子。
主循环（最小化、全局 gbest，示意框）
设目标 在盒约束或 上可计算。 为粒子的个体最优， 为全群 gbest 位置。下框在每一外代中：用当前 与 做速度、位置更新，再计算 并回写 pbest 与 gbest，直至外终止条件满足。
▶ 粒子群优化 主循环（速度—位置、全局 g）
1. 初始化
在可行域上随机或启发式设置各粒子的 、。评价各 。令 ，（在粒子集合上取 最小者所对应位置；并列时任取一约定）。
2. 每一代（外循环未终止前重复执行）
对全体粒子下标 更新（ 的遍历顺序实现可定稿；单线程下无竞态；若并行更新 需规定读写规则）：
- 速度更新：。 为惯性权重；、 为非负常数；、 为 上独立均匀随机向量，与 同维， 为逐分量相乘； 为当前全体最优位置。
- 位置与边界：。若存在盒约束或域边界，对 、 做截断或反弹等，以保持可行或满足实现约定。
- 评价与极值：若 ，令 ；若 产生新的群体最优，则更新 。
若仍未达最大代数/评价次数/时间/无改进等外终止条件，回到本步再次执行一代；否则进入下一步。
3. 输出
输出 （或使 最小的 与记录）。
注：同一代里也可先据 更新 pbest、gbest 再按公式改 、；与框中「先改 、 再评 并更 pbest、gbest」时， 在一代里被读取的时刻不同。实现中择一并在可复现说明里与代码写清。