多商品网络流问题
多商品网络流问题（Multicommodity Network Flow, MCNF，亦常称多物网络流问题）指：多种商品各自从若干发点经同一网络中共用的弧流往各自的收点，在弧上容量等约束下决定各商品、各弧上的流量，使总成本（或所建模目标）最优。在服务网络设计、通信网络、物流网络设计等生产与工程场景中应用很广。
当供应点集合与客户点集合可视为二部划分、每类商品只在「供应方–客户方」的弧上起讫、不经中间转点时，MCNF 在结构上会退化为 多商品流运输问题（MCTP）：弧集为 ，平衡约束按发点与收点侧分别写出。
在下列形式下给出一种常见定义。给定有向图 ， 为节点、 为弧集，并给定如下参数（记号在文献中常见，可据题设增删有向/无向、成本结构等）：
- ：商品流集合，共 类「流」；可对应 组起讫-需求量三元组 ， 在 中取值。
- ：商品 的需求：需从 向 输送的物资量。
- ：弧 的容量；所有商品在该弧上流量之和不得超过 。
- ：在弧 上输送商品 的单位费用。
MCNF 的决策含义是：为每一类商品设计可行路径/流量，使其从发点以需求量到达各自收点、满足上界等约束，并使产生的总成本最小。
注：为直观展示，可参见文献 Cappanera and Scaparra, 2011 中的示例网络；示例网络见下图 2.13。文中另有两类商品数值例：商品 1 为 （自节点 1 至 7、需求 25），商品 2 为 。另有文献在图中给出总成本 1873 的数值可行解，本页不附其图 2.14 一面的复制品；弧上费用、容量及 (1)–(4) 中变量含义已在上文写全，无需求图即可建立完整模型。下图中成对方括号在常见记法中表示费用、容量等参数对，仅保留拓扑作示意。
线性规划形式
设 为商品 在弧 上的流量。MCNF 常写为下述线性模型。
目标为最小化总费用：
流量守恒（对每一节点 、每一商品 ）：以「流出减流入」等于发、收、中转平衡量；其中对 有向求和。下式在 处为发量 ，在 处为 ，其余为 0（同一 可对多对 分别成式，以题设为准）。
弧容量（多商品共用一弧的容量上界）：
非负：
注：上列 (1)–(4) 是 MCNF 线性格式的常见写法的完整一组；当图无平行弧、或 不重合时，守恒式常按「每一 与每一 一行」在实现中显式展开。多商品使问题规模与结构显著难于单商品最大流/最短路，常用分解、列生成、近似或启发式等求解；属网络优化与组合优化的经典难型之一。